Logaritimo

Os logaritmos possuem inúmeras aplicações no cotidiano, a Física e a Química utilizam as funções logarítmicas nos fenômenos em que os números adquirem valores muito grandes, tornando-os menores, facilitando os cálculos e a construção de gráficos. O manuseio dos logaritmos requer algumas propriedades que são fundamentais para o seu desenvolvimento. Veja:

Propriedade do produto do logaritmo

Se encontrarmos um logaritmo do tipo: log _a(x * y) devemos resolvê-lo, somando o logaritmo de x na base a e o logaritmo de y na base a.

log _a (x * y) = log_a x + log_a y

Exemplo:
log₂(32 * 16) = log₂32 + log₂16 = 5 + 4 = 9

Propriedades do quociente do logaritmo
Caso o logaritmo seja do tipo log_ax/y, devemos resolvê-lo subtraindo o logaritmo do numerador na base a pelo logaritmo do denominador também na base a.

log _ax/y = log_ax – log_ay

Exemplo:
log₅(625/125) = log₅625 – log₅125 = 4 – 3 = 1

Propriedade da potência do logaritmo

Quando um logaritmo estiver elevado a um expoente, na próxima passagem esse expoente irá multiplicar o resultado desse logaritmo, veja como:

log _ax^m = m*log_ax

Exemplo:
log₃81² = 2*log₃81 = 2 * 4 = 8 

Propriedade da raiz de um logaritmo
Essa propriedade é baseada em outra, que é estudada na propriedade da radiciação, ela diz o seguinte:



Essa propriedade é aplicada no logaritmo quando:

Exemplo:

Propriedade da mudança de base

Existem situações nas quais precisaremos utilizar a tábua de logaritmos ou uma calculadora científica na determinação do logaritmo de um número. Mas para isso devemos trabalhar o problema no intuito de estabelecer o logaritmo na base 10, pois as tábuas e as calculadoras operam nessas condições, para isso utilizamos a propriedade da mudança de base, que consiste na seguinte definição:

Exemplo

O uso do logaritimo no cotidiano

A escala Richter foi desenvolvida por Charles Richter e Beno Gutenberg, no intuito de medir a magnitude de um terremoto provocado pelo movimento das placas tectônicas.
As ondas produzidas pela liberação de energia do movimento das placas podem causar desastres de grandes proporções.
Os estudos de Charles e Beno resultaram em uma escala logarítmica denominada Richter, que possui pontuação de 0 a 9 graus.
A magnitude (graus) é o logaritmo da medida das amplitudes (medida por aparelhos denominados sismógrafos) das ondas produzidas pela liberação de energia do terremoto. A fórmula utilizada é a seguinte:
M = log A – log A₀, onde M: magnitude, A: amplitude máxima, A₀: amplitude de referência.

Podemos utilizar a fórmula para comparar as magnitudes de dois terremotos. Iremos comparar um terremoto de 6 graus com outro de 8 graus de magnitude, todos na escala Richter.

M ₁ – M₂ = (log A₁ – log A₀) – (log A₂ – log A₀)
6 – 8 = log A₁ – log A₂
– 2 = log( A₁ / A₂)
10 –2 = A₁ / A₂
(1/10)₂ = A₁ / A₂
(1/100) = A₁ / A₂
A₂ = 100A₁

Podemos notar que as ondas do terremoto A ₂ possuem amplitudes 100 vezes mais intensas do que a do terremoto A₁.

Para calcular a energia liberada por um terremoto, usamos a seguinte fórmula:

I = (2/3)log10(E/E0), onde I: varia de 0 a 9, E: energia liberada em kW/h
e E₀: 7 x 10^-3 kW/h.

Qual a energia liberada por um terremoto de intensidade 6 na escala Richter?
I = 6

6 = (2/3)log10(E / 7 x 10 ^-3)
9 = log10(E / 7 x 10^-3)
10⁹ = E / 7 x 10^-3
E = 7 x 10^-3 x 10⁹
E = 7 x 10⁶ kW / h

A energia liberada por um terremoto de 6 graus na escala Richter é de 7 x 10 ⁶ kW/h.