Matrizes

As matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas, utilizadas na organização de dados e informações. Nos assuntos ligados à álgebra, as matrizes são responsáveis pela solução de sistemas lineares. Elas podem ser construídas com m linhas e n colunas, observe:

 

matriz de ordem 3 x 1. (3 linhas e 1 coluna).

 

matriz de ordem 3 x 2. (3 linhas e 2 colunas)

 

matriz de ordem 4 x 2. (4 linhas e 2 colunas)

 

matriz de ordem 1 x 4. (1 linha e 4 colunas)

As matrizes com número de linhas e colunas iguais são denominadas matrizes quadradas. Observe:

 

matriz quadrada de ordem 2 x 2.

matriz quadrada de ordem 3 x 3.

 

matriz quadrada de ordem 4 x 4.

  

Na matriz, temos que cada elemento ocupa seu espaço de acordo com a seguinte localização:

O elemento 2 está na 1ª linha e 1ª coluna.
 

O elemento 5 está na 1ª linha e 2ª coluna.
 

O elemento 7 está na 2ª linha e 1ª coluna.
 

O elemento –9 está na 2ª linha e 2ª coluna.

Portanto, temos:

aij, onde i = linhas e j = colunas.
a₁₁ = 2
a₁₂ = 5
a₂₁ = 7
a ₂₂ = –9

Podemos construir uma matriz de acordo com uma lei de formação baseada em situações variadas. Por exemplo, vamos construir uma matriz de ordem 3 x 3, seguindo a orientação a_ij = 3i + 2j.

Vamos escrever a matriz B dada por (aij)4x4, de modo que i + j, se i = j e i – j, se i ≠ j.

 Tipos de matrizes

Uma matriz recebe certo tipo de nome dependendo da quantidade de elementos em suas linhas e colunas ou apenas por características específicas.

►Matriz linhas

Recebe o nome de Matriz linha toda matriz que possui apenas uma linha. O número de colunas é independente. Por exemplo:

1 x 3

►Matriz coluna

Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz que possuir apenas uma coluna. O número de linhas é independente. Por exemplo:
5 x 1

►Matriz nula

Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que independentemente do número de linhas e colunas todos os seus elementos são iguais a zero. Por exemplo:


Podendo ser representada por 0_{3 x 2}.

►Matriz quadrada

Matriz quadrada é toda matriz que o número de colunas é o mesmo do número de linhas. Por exemplo:


Quando a matriz é quadrada nela podemos perceber a presença de uma diagonal secundária e uma diagonal principal.



►Matriz diagonal

Será uma matriz diagonal, toda matriz quadrada que os elementos que não pertencem à diagonal principal sejam iguais a zero. Sendo que os elementos da diagonal principal podem ser iguais a zero ou não. Por exemplo:



►Matriz identidade

Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que ser quadrada e os elementos que pertencerem à diagonal principal devem ser iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a zero. Veja o exemplo:



►Matriz oposta

Dada uma matriz B, a matriz oposta a ela é - B. Se tivermos uma matriz:




A matriz oposta a ela é:




Concluímos que, para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer basta trocar os sinais dos elementos.

►Matrizes iguais ou igualdade de matrizes

Dada uma matriz A e uma matriz B, as duas poderão ser iguais se somente seus elementos correspondentes forem iguais.


As matrizes A e B são iguais, pois seus elementos correspondentes são iguais. 

Multiplicação de matrizes

A multiplicação de matrizes é realizada de acordo com a seguinte condição: o número de colunas da 1ª matriz deve ser igual ao número de linhas da 2ª matriz. Observe alguns modelos de matrizes que podem ser multiplicadas, considerando o formato m x n.

A _4x3 * B_3x1

A _4x2 * B_2x3

A _1x2 * B_2x2

A _3x4 * B_4x3

Nesse modelo de multiplicação, os métodos são mais complexos. Dessa forma, precisamos ter muita atenção na resolução de uma multiplicação de matrizes. Vamos através de exemplos, demonstrar como efetuar tais cálculos. A operação deverá ser feita multiplicando os membros da linha da 1º matriz pelos membros da coluna da 2º matriz, onde os elementos devem ser somados, constituindo um único item posicional da matriz. Observe um modelo padrão de multiplicação:

Exemplo1:

Realizamos uma multiplicação entre uma matriz A de ordem 2 x 3 por uma matriz B de ordem 3 x 2. Observe que a condição “o número de colunas da 1ª matriz deve ser igual ao número de linhas da 2ª matriz”, foi válida, pois 3 = 3. O interessante é que a matriz, produto da multiplicação, é de ordem 2 x 2, isto é, 2 linhas e 2 colunas, possuindo o mesmo número de linhas da 1ª e o mesmo número de colunas da 2ª.

Portanto, todas essas condições são observadas na multiplicação entre matrizes. Caso alguma dessas condições não seja válida, a operação da multiplicação estará efetuada de forma incorreta. Sempre que realizar multiplicação entre matrizes, faça de forma atenciosa, desenvolvendo completamente o processo, procurando não utilizar meios diretos para obter o resultado.

Exemplo 2:

                          

Multiplicação  de um número real por uma matriz

As matrizes são estruturas matemáticas importantes na organização de dados em linhas e colunas. Elas são de extrema importância na resolução de sistemas lineares e equações lineares. Dessa forma, as matrizes constituem uma ferramenta singular em outras áreas, como: Engenharia, Computação e outras ciências. Entre as matrizes podemos realizar cálculos envolvendo adição, subtração e multiplicação.

Vamos demonstrar como multiplicar um número real por uma matriz do tipo m x n, onde m representa as linhas e n as colunas. Esse tipo de multiplicação é muito simples, pois basta multiplicar o número real por todos os elementos pertencentes à matriz. Observe:

                                    


Vamos realizar mais algumas multiplicações, a fim de fixar os métodos utilizados nesse tipo de operação.

                                                                            

                                            e

 Dada as matrizes, determine:
 

a) 2A + 3B

b) 7A – 6B