A RETA

Equação Geral da reta

Para determinarmos a equação geral de uma reta utilizamos os conceitos relacionados a matrizes. Na determinação da equação na forma ax + by + c = 0 aplicamos a regra de Sarrus. Para utilizarmos uma matriz nessa determinação da equação feral devemos ter no mínimo dois pares ordenados (x,y) dos possíveis pontos alinhados, por onde a reta irá passar. Observe a matriz geral da determinação da equação geral:

Na matriz temos os pares ordenados que devem ser informados: (x₁, y₁) e (x₂, y₂) e um ponto genérico representado pelo par (x, y). Observe que a 3º coluna da matriz é completada com o algarismo 1.

Exemplo1: 

Determinar a equação geral da reta que contém os pontos A(1, 2) e B(3,8).

Ponto A temos que: x₁ = 1 e y₁ = 2
Ponto B temos que: x₂ = 3 e y₂ = 8
Ponto genérico C representado pelo par ordenado (x, y)

Calcular o determinante de uma matriz quadrada aplicando a regra de Sarrus significa:


1º passo: repetir a 1º e a 2º coluna da matriz.

2º passo: somar os produtos dos termos da diagonal principal.

3º passo: somar os produtos dos termos da diagonal secundária.

4º passo: subtrair a soma total dos termos da diagonal principal dos termos da diagonal secundária. 

Resolução da matriz dos pontos da reta:

[(1 * 8 * 1) + (2 * 1 *x) + (1 * 3 * y)] – [(2 * 3 * 1) + (1 * 1 * y) + (1 * 8 * x)] = 0
[ 8 + 2x + 3y] – [6 + y + 8x] = 0
8 + 2x + 3y – 6 – y – 8x = 0
2x – 8x + 3y – y + 8 – 6 = 0
r: –6x + 2y + 2 = 0

Os pontos A(1, 2) e B(3,8) pertencem a seguinte equação geral da reta: –6x + 2y + 2 = 0.


Exemplo2: 

Determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos: A(–1, 2) e B(–2, 5).

Aplicando-se a regra de Sarrus temos:


[– 5 + 2x + (–2y)] – [(– 4) + (– y) + 5x] = 0
[– 5 + 2x – 2y] – [– 4 – y + 5x] = 0
– 5 + 2x – 2y + 4 + y – 5x = 0
r: –3x – y – 1 = 0

A equação geral da reta que passa pelos pontos A(–1, 2) e B(–2, 5) é dada pela expressão: –3x – y – 1 = 0.

Equação Segmentária da reta

Faremos o estudo da equação segmentária da reta e sua utilização.

 

Considere uma reta s qualquer do plano de equação ax + by = c. Para obtenção da equação segmentária da reta s basta dividir toda a equação por c, obtendo:

 

Que é a equação na forma segmentária da reta s.

Exemplo 1. Determine a forma segmentária da equação da reta s cuja equação geral é:
s: 2x + 3y – 6 = 0
 

Solução: Para determinar a equação segmentária da reta s devemos isolar o termo independente c. Assim, segue que:
2x + 3y = 6

Dividindo a equação por 6, obtemos:

 

 A identidade acima é a forma segmentária da equação da reta s.

Exemplo 2. Determine a equação segmentária da reta t: 7x + 14y – 28 =0 e as coordenadas dos pontos de interseção da reta com os eixos do plano.

Solução: Para determinar a forma segmentária da equação da reta t devemos isolar o termo independente c. Assim, teremos:
7x + 14y = 28

Dividindo toda igualdade por 28, obtemos:

 

Que é a equação segmentária da reta t.

Com a equação segmentária, podemos determinar os pontos de interseção da reta com os eixos ordenados do plano. O termo que divide x na equação segmentária é abscissa do ponto de intercessão da reta com o eixo x, e o termo que divide y é abscissa do ponto de interseção da reta com o eixo y. Assim:

(4, 0) é o ponto de interseção da reta com o eixo x.
(0, 2) é o ponto de interseção da reta com o eixo y.

 

Coeficiente Angular de uma reta

Sabemos que o valor do coeficiente angular de uma reta é a tangente do seu ângulo de inclinação. Através dessa informação podemos encontrar uma forma prática para obter o valor do coeficiente angular de uma reta sem precisar fazer uso do cálculo da tangente.

Vale ressaltar que se a reta for perpendicular ao eixo das abscissas, o coeficiente angular não existirá, pois não é possível determinar a tangente do ângulo de 90º.

Para representarmos uma reta não vertical em um plano cartesiano é preciso ter no mínimo dois pontos pertencentes a ela. Desse modo, considere uma reta s que passa pelos pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e possui um ângulo de inclinação com o eixo Ox igual a α.

Prolongado a semirreta que passa pelo ponto A e é paralela ao eixo Ox formaremos um triângulo retângulo no ponto C.

 

O ângulo A do triângulo BCA será igual ao da inclinação da reta, pois, pelo Teorema de Tales, duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos correspondentes iguais.

Levando em consideração o triângulo BCA e que o coeficiente angular é igual à tangente do ângulo de inclinação, teremos:
 

  tgα = cateto oposto / cateto adjacente

tgα = y_B – y_A / x_B – x_A

Portanto, o cálculo do coeficiente angular de uma reta pode ser feito pela razão da diferença entre dois pontos pertencentes a ela.

m = tgα = Δy / Δx

Exemplo1:

 

Qual é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (–1,3) e B (–2,4)?

m = Δy/Δx

m = 4 - 3 / (-2) - (-1)
m = 1 / -1
m = -1

Exemplo2:

 

O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (2,6) e B (4,14) é:

m = Δy/Δx

m = 14 – 6/4 – 2
m = 8/2
m = 4

Exemplo3:

 

O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (8,1) e B (9,6) é:

m = Δy/Δx

m = 6 – 1/9 – 8
m = 5/1
m = 5

Equação Reduzida da reta

 

Uma equação reduzida da reta respeita a lei de formação dada por y = mx + c, onde x e y são os pontos pertencentes à reta, m é o coeficiente angular da reta e c o coeficiente linear. Essa forma reduzida da equação da reta expressa uma função entre x e y, isto é, as duas variáveis possuem uma relação de dependência. No caso dessa expressão, ao atribuirmos valores a x (eixo das abscissas), obtemos valores para y (eixo das ordenadas). No caso de funções matemáticas do 1º grau, estamos relacionando o domínio (x) de uma função com sua imagem (y). Outra característica desse modelo de representação é quanto ao valor do coeficiente angular e linear.

O coeficiente angular (a) representa a inclinação da reta em relação ao eixo das abscissas (x) e o coeficiente linear (c) representa o valor numérico por onde a reta passa no eixo das ordenadas (y).

                                                    
  
Vamos construir a equação reduzida de uma reta de acordo com os pontos P(2, 7) e Q(–1, –5) pertencentes à reta. Para determinar essa equação há duas maneiras, observe

1º maneira

Determinar o coeficiente angular da reta.

m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)
m = (–5 – 7) / (–1 – 2)
m = –12 / –3
m = 4

De acordo com o ponto P(2, 7), temos:

y – y₁ = m * (x – x₁)
y – 7 = 4 * (x – 2)
y – 7 = 4x – 8
y = 4x – 8 + 7
y = 4x – 1

2ª maneira

Temos que a lei de formação de uma equação reduzida da reta é dada por y = mx + c.

Considerando que ela passa por P(2, 7) e Q(–1, –5), temos:

P(2, 7)

7 = m * 2 + c
7 = 2m + c
2m + c = 7

Q(–1, –5)

–5 = m * (–1) + c
–5 = –m + c
–m + c = –5

Nesse caso, os valores dos coeficientes angular (m) e linear (c) serão calculados por um sistema de equações. Veja:

Isolando c na 2ª equação:

–m + c = –5
c = –5 + m

Substituindo c na 1ª equação:

2m + c = 7
2m + (–5 + m) = 7
2m – 5 + m = 7
3m = 7 + 5
3m = 12
m = 12/3
m = 4

Calculando o valor de c:

c = –5 + m
c = –5 + 4
c = –1

Portanto, a equação reduzida da reta que passa pelos pontos P(2, 7) e Q(–1, –5), corresponde à expressão y = 4x – 1.

     

Equação da reta, conhecidos um ponto e a direção

Com um ponto e um ângulo podemos indicar e construir uma reta. E se a reta formada não for vertical (reta vertical é perpendicular ao eixo Ox) com o ponto pertencente a ela mais o seu coeficiente angular (tangente do ângulo de inclinação) é possível determinar a equação fundamental da reta.

Considerando uma reta r, o ponto C(x₀, y₀) pertencente à reta, seu coeficiente angular m e outro ponto D(x,y) genérico diferente de C. Com dois pontos pertencentes a reta r, podemos calcular o seu coeficiente angular.

                                                                    

m = y – y₀
        x – x₀

m (x – x₀) = y – y₀

Portanto, a equação fundamental da reta será determinada pela seguinte equação:

y – y₀ = m (x – x₀)

Exemplo 1:

Encontre a equação fundamental da reta r que possui o ponto A (0,-3/2) e coeficiente angular igual a m = -2.

y – y₀ = m (x – x₀)
y – (-3/2) = - 2(x – 0)
y + 3/2 = -2x
2x – y – 3/2 = 0

Exemplo 2:

Obtenha uma equação para a reta representada abaixo:
              
                                                                   
Para determinarmos a equação fundamental da reta precisamos de um ponto e o valor do coeficiente angular. O ponto foi fornecido (5,2), o coeficiente angular é a tangente do ângulo α.



                                                                                                                                          

  

Iremos obter o valor de α com a diferença 180° - 135° = 45°, então α = 45º e a tg 45° = 1.
y – y₀ = m (x – x₀)
y – 2 = 1 (x – 5)
y – 2 = x – 5
-x + y + 3 = 0