O Ponto 

Distância entre dois pontos

A distância permeia todos os conceitos da geometria analítica, pois nesta área da matemática temos a relação de elementos geométricos com os algébricos, e o elemento básico da geometria é o ponto.

Um dos conceitos básicos que vimos na geometria é que a menor distância entre dois pontos é dada por uma reta, contudo, na geometria analítica esses pontos recebem coordenadas no plano cartesiano e por meio dessas coordenadas podemos encontrar o valor da distância entre dois pontos.

Vamos representar dois pontos quaisquer no plano cartesiano.

Portanto, teremos que a distância entre os pontos A e B será a medida do segmento que tem os dois pontos como extremidade. Por se tratar de dois pontos quaisquer, representaremos as coordenadas desses pontos de maneira genérica.

Sabe-se que os eixos coordenados do plano cartesiano são ortogonais, portanto, podemos construir um triângulo retângulo utilizando os pontos A e B, como mostra a figura a  seguir: 

Sabe-se que os eixos coordenados do plano cartesiano são ortogonais, portanto, podemos construir um triângulo retângulo utilizando os pontos A e B, como mostra a figura a seguir:  

  

Note que o segmento AB é a hipotenusa do triângulo AOB, e a medida de AB corresponde à distância entre esses dois pontos. Por se tratar de um triângulo retângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras, no qual teremos:

Note que basta fazer as diferenças das coordenadas de cada um dos pontos e elevar ao quadrado, contudo são coordenadas do eixo X com coordenadas do eixo X e de forma análoga para as coordenadas do eixo Y.

Calcule a distância entre os pontos: A (4,5) e B(1,1) e represente-os geometricamente.

Como vimos anteriormente, basta aplicar a expressão para o cálculo da distância entre dois pontos. Sendo assim:

Geometricamente:

Ponto médio de um segmento

O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um deles irá dividir o segmento em duas partes iguais. A identificação e a determinação do ponto médio de um segmento de reta será demonstrado com base na ilustração a seguir.

O segmento de reta AB terá um ponto médio (M) com as seguintes coordenadas (xM, yM). Observe que os triângulos AMN e ABP são semelhantes, possuindo os três ângulos respectivamente iguais. Dessa forma, podemos aplicar a seguinte relação entre os segmentos que formam os triângulos. Veja:

Podemos concluir que AB = 2 * (AM), considerando que M é o ponto médio do segmento AB. Temos:

x_P – x_A = 2*(x_M – x_A)

x_B – x_A = 2*(x_M – x_A)

x_B – x_A = 2x_M – 2x_A

2x_M = x_B – x_A + 2x_A

2x_M = x_A + x_B

x_M = (x_A + x_B)/2

Utilizando método análogo, conseguimos demonstrar que y_M = (y_A + y_B )/2.

Portanto, considerando M o ponto médio do segmento AB, temos a seguinte expressão matemática capaz de determinar a coordenada do ponto médio de qualquer segmento no plano cartesiano:

Percebemos que o cálculo da abscissa xM é a média aritmética entre as abscissas dos pontos A e B. Assim, o cálculo da ordenada yM é a média aritmética entre as ordenadas dos pontos A e B.

Exemplo1:

Dadas as coordenadas dos pontos A(4,6) e B(8,10) pertencentes ao segmento AB, determine as coordenadas do ponto médio desse segmento.

x_A = 4

y_A = 6

x_B = 8

y_B = 10

x_M = (xA + xB) / 2

x_M = (4 + 8) / 2

x_M = 12/2

x_M = 6

y_M = (yA + yB) / 2

y_M = (6 + 10) / 2

y_M = 16 / 2

y_M = 8

As coordenadas do ponto médio do segmento A_B é x_M (6, 8).

Exemplo2:

Dados os pontos P(5,1) e Q(–2,–9), determine as coordenadas do ponto médio do segmento PQ.

x_M = [5 + (–2)] / 2

x_M = (5 – 2) / 2

x_M = 3/2

y_M = [1 + (–9)] / 2

y_M = (1 – 9) / 2

y_M = –8/2

y_M = –4

Portanto, M(3/2, –4) é o ponto médio do segmento PQ.

Condição de alinhamento de três pontos

Três pontos não alinhados em um plano cartesiano formam um triângulo de vértices A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) e C(x_C, y_C). A sua área poderá ser calculada da seguinte forma:

A = 1 , |D|, ou seja, |D|,  considerando:

      2                        2                                             


                                          

  
Para que exista a área do triângulo esse determinante deverá ser diferente de zero. Caso seja igual a zero os três pontos, que eram os vértices do triângulo, só poderão estar alinhados.

Portanto, podemos concluir que três pontos distintos A(x _A, y_A), B(x_B, y_B) e C(x_C, y_C) estarão alinhados se o determinante.

correspondente a eles for igual a zero.

Exemplo1:

Verifique se os pontos A(0,5), B(1,3) e C(2,1) são ou não colineares (são alinhados).

O determinante referente a esses pontos é . Para que sejam colineares, o valor desse determinante deve ser igual à zero.

= 10 + 1 – 6 – 5 = 9 – 6 – 5 = 5 – 5 = 0

Portanto, os pontos A, B e C estão alinhados.